¿Cuales son los conceptos básicos para determinar si una curva de densidad es una distribución normal?

La curva de densidad de una distribución normal (simétrica) se define dando su media μ y su desviación típica σ. La desviación típica σ controla la dispersión de la curva normal.

La curva de densidad en una distribución normal siempre es una campana sobre el eje de abscisas. El área formada es igual a 1.

Si trazamos una línea perpendicular al eje de abscisas en un valor concreto I, el valor del área de la superficie delimitada por esta línea perpendicular, la campana y el eje de abscisas indica el porcentaje de elementos de la distribución con un valor igual o inferior a I.

La media μ es el punto de equilibrio de la curva.

La mediana divide el área de la campana en dos partes iguales.

Si la curva es simétrica media y mediana coinciden.

Si la curva es asimétrica la media está en el lado de la cola más larga tomando la mediana como el punto por donde pasaría el eje imaginario que divide la campana en dos lados.

Los puntos en los que tiene lugar un cambio de la curvatura de la curva de densidad están a una distancia igual a σ de μ.

Las distribuciones que se aproximan a la normal podemos representan características de poblaciones suficientemente grandes o aproximaciones de fenómenos aleatorios. Muchos procesos de inferencia estadística basados en distribuciones normales dan buenos resultados cuando se aplican a distribuciones aproximadamente simétricas. No obstante hay muchas distribuciones asimétricas como pueden ser los salarios.

Todas las distribuciones normales deben cumplir al regla del 68-95-99,7

1. El 68% de todos los elementos se encuentran dentro del intervalo  μ ± σ
2. El 95% de todos los elementos se encuentran dentro del intervalo  μ ± 2σ
3. El 99,7% de todos los elementos se encuentran dentro del intervalo  μ ± 3σ

¿Cuales son los cinco números resumen de una distribución?

1. El valor mínimo
2. El primer cuartil
3. La mediana
4. El tercer cuartil
5. El valor máximo

¿Qué son los cuartiles?

Los cuartiles son una medida de la dispersión de una serie. Son especialmente útiles cuando trabajamos con distribuciones asimétricas (los valores están concretados en los extremos).

Para calcular un cuartil debemos ordenar la lista de valores de la distribución

El primer cuartil es el elemento cuyo valor es superior al valor del 25% de lo elementos con valor más pequeños.

El segundo cuartil es el elemento cuyo valor es superior al valor del 50% de lo elementos con valor más pequeños, es decir, es la mediana

El tercer cuartil es el elemento cuyo valor es superior al valor del 75% de lo elementos con valor más pequeños.

También podemos definir el primer cuartil como la mediana de la subserie integrada por los elementos más pequeños que  la mediana de serie global.

Igualmente podemos definir el tercer cuartil como la mediana de la subserie integrada por los elementos mayores que  la mediana de serie global.

La mediana de la distribución queda fuera del cálculo de los cuartiles cuando hay un número impar de elementos.

¿Qué es la mediana? ¿Qué diferencia nos ofrece como indicador del centro de una distribución si la comparamos con la media aritmética?

Si ordenamos una distribución, la mediana es el valor situado en la mitad de la serie; de tal forma que existen la misma cantidad de valores más pequeños y mayores que ella.

Si el número de elementos es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales de la muestra.


La mediana es robusta si la comparamos con la media aritmética. En una distribución con valores atípicos, el impacto de estos en el valor de la mediana es muy pequeño o nulo en contraposición si lo comparamos con el que impacto que tendría para la media aritmética.

En listas simétricas el valor de la media aritmética y la mediana están muy próximos. En una lista exactamente simétrica coinciden.

En una lista asimétrica la media aritmética se desplaza a la cola más larga. A la mediana no le afectan. Por ejemplo: en un estudio del valor de las casas unas pocas casas con valor elevado suben el precio medio de una vivienda aunque la mayoría tengan un precio moderado, la mediana indicaría un precio moderado; no obstante para un economista podría ser más útil la media aritmética ya que con ella puede saber el valor de todas las casas (es el producto del valor medio y el número de casas)

Su problema es su cálculo en series con demasiados elementos. El proceso de ordenar una lista es laborioso de hacerlo a mano y para la ordenación en automático necesitamos una máquina con un poder de cálculo superior al de una calculadora estándar.

Hay calculadoras simples que calculan la media aritmética pero solo unas pocas con funciones estadísticas avanzadas calculan la mediana, pero estas calculadoras tienen la potencia de cálculo de un ordenador.

¿Es la media aritmética un valor representativo del centro de la distribución?

Depende de la distribución, por tanto podemos afirmar que la media aritmética no es una medida robusta de centro de una dispersión

Sí es válido cuando trabajamos con una distribución simétrica y sin valores atípicos

No lo es cuando la distribución no es simétrica o hay valores atípicos. El valor de la media es muy sensible a la influencia de unas pocos elementos con valores extremos. Del mismo modo una distribución asimétrica sin valores atípicos desplazará la media hacia la cola más larga (el extremo de la muestra donde hay más valores).

¿Qué son la varianza y la dispersión típica?

La varianza (s2) y la desviación típica (s) miden la dispersión de una serie estadística. La dispersión típica debe utilizarse solamente cuando elegimos la media aritmética como valor representativo del centro de la muestra.

La desviación típica está indicada para las distribuciones simétricas (tipo de distribución normal). No es robusta. Fuertes asimetrías o valores atípicos pueden hacer que aumente el valor de s como le ocurre a la media aritmética. Un valor atípico de gran magnitud hace que el valor de s sea muy elevado aunque si excluyésemos este elemento la s de la distribución fuese muy muy pequeño. Un valor atípico tiene mucho potencial de  impacto en el cálculo de s.